Matrices inversas. Método de la adjunta.
El determinante de una matriz \(\mathbf{A}\) posee diversos usos, como una segunda aplicación está la determinación de la matriz inversa denotada como \(\mathbf{A}^{-\mathbf{1}}\) que a su vez se utilizará en la determinación de soluciones para sistemas de ecuaciones lineales.
Para comenzar se dice que una matriz \(A\) es singular si \(\left|A\right|=0,\) en el caso en que \(\left|A\right|\neq0\) se dice que es no singular. Al definir las operaciones con matrices no se expresó nada sobre el cociente de dos matrices, esto es porque no está definida la división de matrices, al trabajar con ecuaciones se puede escribir \(AB=R\Longrightarrow A=R/B\) sin embargo no existe ningún significado (hasta el momento en que se escriben estas líneas) para \(A=RB\) cuando se trata de matrices, sin embargo, si la matriz \(A\) es no singular existe la matriz inversa \(A^{-1}\) tal que, $$AB=R\Longrightarrow B=A^{-1}R$$ y como se verá más adelante se podrá usar esta afirmación para la resolución de un sistema de ecuación lineal, sin importar la cantidad de variables que este posea.
Note que si \(B=I\) (matriz identidad) se tiene \( AI=A\Longrightarrow I=A^{-1}A\) esto es, “el producto de una matriz \(A\) de orden \(n\times n\) y su inversa es igual a la matriz identidad \(I_n\)” y además se puede probar \(A^{-1}A=AA^{-1}=I_n\)
En la práctica determinar una matriz inversa puede llegar a representar un arduo trabajo cuando no se usan software adecuados o dispositivos inteligentes, está es la razón por la cual en este texto la determinación de una matriz inversa no ha de superar el orden \(4\times4\) para todos los demás casos se recomienda valerse de la tecnología existente.
Definición de matriz inversa
Sea \(A\) una matriz no singular, entonces, la matriz inversa de \(A\) denotada por \(A^{-1}\) tal que \(A^{-1}A=I_n=AA^{-1}\) está dada por,
$$A^{-1}=\frac{C^T}{\left|A\right|}$$
donde \(C^T\) es la matriz transpuesta de los cofactores (llama matriz adjunta por algunos autores). Además, si \(A^{-1}\) existe es única.
La demostración de la unicidad de la matriz inversa es bastante simple, sean \(B\) y \(C\) dos matrices inversas de la matriz \(A,\) como se ha visto \(AB=I=BA,\) lo cual también es válido para \(AC=I=CA\) entonces en \(AB=I\) multiplicando ambos miembros por \(C\) se tiene \(CAB=CI,\) que puede escribirse como \left(CA\right)B=CI,) note que \(I=CA\) y \(CI=C\) de donde, \(\left(CA\right)B=CI\Longleftrightarrow IB=C\) y por tanto \(B=C\) y la inversa es única.
Ejemplo. Inversa de una matriz \( \mathbf{2}\times\mathbf{2}\). Determinar \(A^{-1}\) para la matriz,
$$A=\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}\right)\ {\rm donde} \ ad\neq bc$$
Solución: aplicando la definición \(A^{-1}=C^T/\left|A\right|\) como \(ad\neq bc\) entonces \(\left|A\right|\neq0\) y la matriz tiene inversa.
\begin{align}
C&=\left(\begin{matrix}\left(-1\right)^2d&\left(-1\right)^3c\\\left(-1\right)^3b&\left(-1\right)^4a\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}d&-c\\-b&a\\\end{matrix}\right)\\
C^T&=\left(\begin{matrix}d&-b\\-c&a\\\end{matrix}\right)\Longrightarrow A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{matrix}d&-b\\-c&a\\\end{matrix}\right)\end{align}
Ejemplo númerico. Determinar la matríz inversa de $$A=\left(\begin{matrix}3&2\\5&4\\\end{matrix}\right)$$
Solución: aplicando el resultado del ejemplo anterior,
\begin{align}
A^{-1}&=\frac{1}{3(4)-2(5)}\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&3\\\end{matrix}\right)\\
A^{-1}&=-\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&3\\\end{matrix}\right)\\
A^{-1}&=\left(\begin{matrix}-2&1\\5/2&-3/2\\\end{matrix}\right)\end{align}
Ejemplo. Inversa de una matriz \(\mathbf{3}\times\mathbf{3}\). Determinar la inversa de la matriz determinante de la matriz,
$$A=\left|\begin{matrix}1&2&2\\2&3&1\\1&1&2\\\end{matrix}\right|$$
Solución: si \(A^{-1}\) existe entonces \(\left|A\right|\neq0.\)
\(\left|A\right|=1(3)2+2(1)1+2(1)2-2(3)1-2(2)2-1(1)1=-3\) que por ser \(\left|A\right|\neq0\) existe \(A^{-1}=C^T/\left|A\right|\)
\begin{align}
C&=\left(-\begin{matrix}\left|\begin{matrix}3&1\\1&2\\\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}2&1\\1&2\\\end{matrix}\right|&\ \ \ \ \left|\begin{matrix}2&3\\1&1\\\end{matrix}\right|\\\left|\begin{matrix}2&2\\1&2\\\end{matrix}\right|&\ \ \ \ \left|\begin{matrix}1&2\\1&2\\\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}1&2\\1&1\\\end{matrix}\right|\\\left|\begin{matrix}2&2\\3&1\\\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}1&2\\2&1\\\end{matrix}\right|&\ \ \ \ \left|\begin{matrix}1&2\\2&3\\\end{matrix}\right|\\\end{matrix}\right)\\
C&=\left(\begin{matrix}-5&-3&-1\\-2&\ \ \ 0&\ \ \ \ 1\\-4&\ \ \ 3&-1\\\end{matrix}\right)\\
C^T&=\left(\begin{matrix}\ \ \ \ 5&-2&-4\\-3&\ \ \ 0&\ \ \ \ 3\\-1&\ \ \ 1&-1\\\end{matrix}\right)\\
A^{-1}&=\frac{C^T}{\left|A\right|}=\left(\begin{matrix}-5/3&2/3&4/3\\\ \ \ 1&\ \ \ 0&-1\\\ \ \ 1/3&-1/3&1/3\\\end{matrix}\right)\end{align}
Ejemplo Una inversa compleja. Determinar la matriz inversa de,
$$A=\left(\begin{matrix}2-i&1&3-i\\2&1&2\\3+i&1&2+i\\\end{matrix}\right)$$
Solución: si \(A^{-1}\) existe entonces \(\left|A\right|\neq0\) usando expansión de Laplace para el determinante tomando como pivote la segunda columna (por ser todos los \(a_{ij}\) de esta columna igual a uno).
$$\left|A\right|=-1\left|\begin{matrix}2&2\\3+i&2+i\\\end{matrix}\right|+1\left|\begin{matrix}2-i&3-i\\3+i&2+i\\\end{matrix}\right|-1\left|\begin{matrix}2-i&3-i\\2&2\\\end{matrix}\right|$$
\(\left|A\right|=2-5+2=-1\) que, por ser distinto de cero, \(A^{-1}=-C^T\)
Note que es innecesario escribir los \(a_{ij}=1,\) sin embargo, se hizo solo parar recordar que se debe multiplicar por los \(a_{ij}.\)
\begin{align}
C&=\left(\begin{matrix}\ \ \ \left|\begin{matrix}1&2\\1&2+i\\\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}2&2\\3+i&2+i\\\end{matrix}\right|&\ \ \ \ \left|\begin{matrix}2&1\\3+i&1\\\end{matrix}\right|\\-\left|\begin{matrix}1&3-i\\1&2+i\\\end{matrix}\right|&\ \ \ \ \left|\begin{matrix}2-i&3-i\\3+i&2+i\\\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}2-i&1\\3+i&1\\\end{matrix}\right|\\\ \ \ \ \left|\begin{matrix}1&3-i\\1&2\\\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}2-i&3-i\\2&2\\\end{matrix}\right|&\ \ \ \ \left|\begin{matrix}2-i&1\\2&1\\\end{matrix}\right|\\\end{matrix}\right)\\
C&=\left(\begin{matrix}i&2&-1-i\\1-2i&-5&1+2i\\-1+i&2&-i\\\end{matrix}\right)\\
A^{-1}&=-C^T=\left(\begin{matrix}-i&-1+2i&1-i\\-2&-5&-2\\1+i&-1-2i&i\\\end{matrix}\right)\end{align}
Ejemplo Inversa de una matriz \(\mathbf{4}\times\mathbf{4}\). Determinar la inversa de la matriz
$$A=\left(\begin{matrix}2&3&1&2\\1&1&0&3\\1&1&2&2\\1&2&0&1\\\end{matrix}\right)$$
Solución: procure entender el proceso pues es bastante tedioso y no se recomienda intentar memorizar. Comience por calcular \(|A|\) para saber si es invertible o no, para esto observando que la tercera columna tiene dos ceros, y es la ideal para pivotear, así que pivoteando en esta columna.
$$\left|A\right|=1{(-1)}^3\left|\begin{matrix}1&1&3\\1&1&2\\1&2&1\\\end{matrix}\right|+2{(-1)}^6\left|\begin{matrix}2&3&2\\1&1&3\\1&2&1\\\end{matrix}\right|=-3$$
Como \(\left|A\right|\neq0\) la matriz es invertible y está dada por \(A^{-1}=C^T/|A|.\)
\begin{align}
C&=\left(\begin{matrix}\left|\begin{matrix}1&0&3\\1&2&2\\2&0&1\\\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}1&0&3\\1&2&2\\1&0&1\\\end{matrix}\right|&\left|\begin{matrix}1&1&3\\1&1&2\\1&2&1\\\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}1&1&0\\1&1&2\\1&2&0\\\end{matrix}\right|\\\left|\begin{matrix}3&1&2\\1&2&2\\2&0&1\\\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}2&1&2\\1&2&2\\1&0&1\\\end{matrix}\right|&\left|\begin{matrix}2&3&2\\1&1&2\\1&2&1\\\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}2&3&1\\1&1&2\\1&2&0\\\end{matrix}\right|\\\left|\begin{matrix}3&1&2\\1&0&3\\2&0&1\\\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}2&1&2\\1&0&3\\1&0&1\\\end{matrix}\right|&\left|\begin{matrix}2&3&2\\1&1&3\\1&2&1\\\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}2&3&1\\1&1&0\\1&2&0\\\end{matrix}\right|\\\left|\begin{matrix}3&1&2\\1&0&3\\1&2&2\\\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}2&1&2\\1&0&3\\1&2&2\\\end{matrix}\right|&\left|\begin{matrix}2&3&2\\1&1&3\\1&1&2\\\end{matrix}\right|&-\left|\begin{matrix}2&3&1\\1&1&0\\1&1&2\\\end{matrix}\right|\\\end{matrix}\right)\\
C&=\left(\begin{matrix}-10&4&1&2\\-1&1&1&-1\\5&-2&-2&-1\\13&-7&-1&-2\\\end{matrix}\right)\\
C^T&=\left(\begin{matrix}-10&-1&5&13\\4&1&-2&-7\\1&1&-2&-1\\2&-1&-1&-2\\\end{matrix}\right)\\
A^{-1}&=\left(\begin{matrix}10/3&1/3&-5/3&-13/3\\-4/3&-1/3&2/3&7/3\\-1/3&-1/3&2/3&1/3\\-2/3&1/3&1/3&2/3\\\end{matrix}\right)\end{align}
Note que es un proceso bastante tedioso usar expansión de Laplace y por esta razón es que se justifica el uso de software y o dispositivos inteligentes para el cálculo de matrices inversas de orden mayor al \(3\times3.\) Más adelante se presentará un procedimiento menos tedioso.
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Matrices ortogonales.
Se dice que una matriz \(A\) no singular cuya transpuesta es igual a su inversa es una matriz ortogonal, esto es, si \(A^T=A^{-1}\) entonces \(A\) es ortogonal.
Además, si \(A\) es ortogonal dado que, \(
\left(A^{-1}\right)^T=\left(A^T\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{-1}\) de donde una se deduce que la inversa de una matriz ortogonal es también ortogonal.
Otro elemento a considerar proviene de la propiedad del producto de una matriz con su inversa, el cual produce la matriz unidad \(I_n,\) analizando este hecho, $$\left|A^{-1}A\right|=I_n=|A^TA|=1$$ de donde se concluye que el determinante de una matriz ortogonal \(A\) debe ser \(\left|A\right|=\pm1.\) Un ejemplo común de una matriz ortogonal es la matriz, $$A=\left(\begin{matrix}\cos{\phi}&-\sin{\phi}\\\sin{\phi}&\cos{\phi}\\\end{matrix}\right)$$ En cinemática de cuerpo rígidos la descripción de transformaciones en el movimiento como en el caso de un brazo robótico se describe mediante el uso de matrices ortogonales, aunque no todas las matrices ortogonales representan desplazamiento físico de un cuerpo rígido como se verá más adelante.
La cinemática describe los llamados ángulos de Euler como los tres ángulos de rotación sucesivos representados por theta, phi y psi \(\left(\theta,\phi,\psi\right)\) al que puede ser sometido un sistema de coordenadas espacial. Los ángulos de Euler están relacionados con el sistema de coordenadas espacial mediante el siguiente conjunto de rotaciones,
1. Rotación alrededor del eje \(x\) un ángulo \( \theta.\)
2. Rotación alrededor del eje \(z\prime\) un ángulo \(\psi.\)
3. Rotación alrededor del antiguo eje \(z\) un ángulo \(\phi.\)
Los cuales establecen la orientación en tornos a los ejes \(x^\prime y^\prime z^\prime\) respecto al sistema de coordenadas espacial \(xyz.\)
Ejemplo. Tres matrices ortogonales de transformación rotacional en cinemática de cuerpo rígido. \begin{align} R_{x\prime}&=\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&\cos{\theta}&\sin{\theta}\\0&-\sin{\theta}&\cos{\theta}\\\end{matrix} \right)\\ R_{y\prime}&=\left(\begin{matrix}\cos{\phi}&\sin{\phi}&0\\-\sin{\phi}&\cos{\phi}&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\\ R_{z^\prime}&=\left(\begin{matrix}\cos{\psi}&\sin{\psi}&0\\-\sin{\psi}&\cos{\psi}&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)\end{align} La representación dentro del álgebra lineal de las matrices ortogonales es tratada al estudiar los espacios vectoriales.
Matrices unitarias.
Se dice que una matriz \(A\) es unitaria si su conjugada hermitiana es igual a su inversa, esto es, \(A^\dagger=A^{-1}.\)
Dado que para una matriz real cumple con que \(A^T=A^\dagger\), entonces toda,
matriz real ortogonal es unitaria y además la inversa de una matriz unitaria real también es una matriz unitaria.
Al estudiar espacios vectoriales se verá que las matrices unitarias, pueden representar una base, o un operador lineal el cual no produce cambios en las normas de los vectores complejos.
Matrices normales.
Se dice que una matriz \(A\) la cual tiene la propiedad conmutativa con respecto al producto de ella y su matriz hermitiana, es una matriz normal, esto es, \( AA^\dagger=A^\dagger A.\)
Son ejemplos de matrices normales (por definición), las matrices identidades \(I_n,\) matrices simétricas, además también lo son las hermitianas y las matrices ortogonales reales.
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Matrices inversas. Método de operaciones elementales.
Otra manera de determinar la inversa de una matriz es mediante el uso de operaciones elementales por renglones en una matriz aumentada, convirtiendo el lado derecho de la matriz aumentada en la matriz identidad \(I_n\).
Matriz aumentada.
Considere el sistema lineal
\begin{array}i
a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=r_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=r_2\\
a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=r_3\end{array}
que puede ser escrito como el producto de las matrices \(Ax=R\) en la forma
$$\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}r_1\\r_2\\r_3\\\end{matrix}\right)$$
Al usar la notación matricial, en la práctica se suele escribir, como,
$$\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{31}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}r_1\\r_2\\r_3\\\end{matrix}\right.\right)$$
y esta matriz resultante es llamada matriz aumentada del sistema. Este concepto puede ser extendido cualquier sistema lineal de \(n\times n\) ecuaciones.
Ejemplo 1. Matriz aumentada de un sistema lineal. Considere el sistema, \begin{array}i x_1+x_2+x_3=50\\ x_1-2x_3=0\\ 20x_1+27x_2+35x_3=1290 \end{array} La matriz aumentada para dicho sistema es, $$\left(\begin{matrix}1&1&1\\1&0&-2\\20&27&35\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}50\\0\\1290\\\end{matrix}\right.\right)$$ Donde el lado izquierdo corresponde a los coeficientes del sistema y el lado derecho a los términos independientes.
Ejemplo 2. Una matriz aumentada en la matriz identidad.
$$\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{31}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\ \left|\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\ \right.\right)$$
Operaciones elementales por renglones.
Sea el sistema lineal,
\begin{array}i
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=r_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=r_2\\
\vdots\\
a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=r_n\end{array}
entonces, existen varias operaciones que pueden realizarse con las ecuaciones del sistema las cuales no alteran el sistema y producen otro sistema equivalente, estas son.
1. Intercambiar el orden de las ecuaciones.
2. Multiplicar una o varias de las ecuaciones por una constante distinta de cero.
3. Sumar un múltiplo de una ecuación con otra.
Estas operaciones reciben el nombre de operaciones elementales con renglones y son de gran ayuda al trabajar con matrices como se verá en esta misa sección. Además, el uso de la terminología “con renglones” puede ser sustituida por la expresión “con columnas” realizando las operaciones elementales en las columnas en vez de las filas.
Inversa mediante operaciones elementales.
Para determinar la matriz inversa de una matriz \(A\)
mediante el uso de operaciones elementales por renglones de una matriz dada, se escribe la matriz en forma de matriz aumentada en la identidad del orden dado y luego se realizan las operaciones elementales por renglones para convertir el lado izquierdo en la matriz identidad. La inversa de la matriz dada será la matriz resultante en lado derecho de la matriz aumentada.
Ejemplo 3. Determinar la matriz inversa de,
$$A=\left(\begin{matrix}3&2\\5&4\\\end{matrix}\right)$$
Solución: comenzando por escribir la matriz aumentada en la unidad,
$$\left(\begin{matrix}\begin{matrix}3&2\\5&4\\\end{matrix}&\left|\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right.\\\end{matrix}\right)$$
se realizan operaciones con renglones hasta que el lado izquierdo sea \(I_2.\)
\begin{align}
&5R_1-3R_2\Longrightarrow R_2:\ \ \ \left(\begin{matrix}\begin{matrix}3&2\\0&-2\\\end{matrix}&\left|\begin{matrix}1&0\\5&-3\\\end{matrix}\right.\\\end{matrix}\right)\\
&-R_2/2\Longrightarrow R_2:\ \ \left(\begin{matrix}\begin{matrix}3&2\\0&1\\\end{matrix}&\left|\begin{matrix}1&0\\-5/2&3/2\\\end{matrix}\right.\\\end{matrix}\right)\\
&R_1-2R_2\Longrightarrow R_1:\ \ \left(\begin{matrix}\begin{matrix}3&0\\0&1\\\end{matrix}&\left|\begin{matrix}6&-3\\-5/2&3/2\\\end{matrix}\right.\\\end{matrix}\right)\\
&R_1/3\Longrightarrow R_1:\ \ \left(\begin{matrix}\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}&\left|\begin{matrix}2&-1\\-5/2&3/2\\\end{matrix}\right.\\\end{matrix}\right)\end{align}
De donde la inversa buscada es,
$$A^{-1}=\left(\begin{matrix}2&-1\\-5/2&3/2\\\end{matrix}\right)$$
Que es el mismo resultado del ejemplo numérico para matrices \(2\times2.\)
Ejemplo 4. Una inversa \(3\times3.\) Determinar la matriz inversa de, $$A=\left(\begin{matrix}\cos{\phi}&\sin{\phi}&0\\-\sin{\phi}&\cos{\phi}&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)$$ Solución: procediendo como en el ejemplo anterior se inicia por escribir la matriz aumentada en la unidad. $$\left(\begin{matrix}\begin{matrix}\cos{\phi}&\sin{\phi}&0\\-\sin{\phi}&\cos{\phi}&0\\0&0&1\\\end{matrix}&\left|\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right.\\\end{matrix}\right)$$ Ahora se realizan operaciones con reglones hasta que el lado izquierdo se convierta en \(I_3.\) \begin{align} &R_1\sin{\phi}+R_2\cos{\phi}\Longrightarrow R_2:\\ &\left(\begin{matrix}\begin{matrix}\cos{\phi}&\sin{\phi}&0\\0&\sin^2{\phi}+\cos^2{\phi}&0\\0&0&1\\\end{matrix}&\left|\begin{matrix}1&0&0\\\sin{\phi}&\cos{\phi}&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right.\\\end{matrix}\right)=\\ &\left(\begin{matrix}\begin{matrix}\cos{\phi}&\sin{\phi}&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}&\left|\begin{matrix}1&0&0\\\sin{\phi}&\cos{\phi}&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right.\\\end{matrix}\right)\\ &\cos{\phi}R_1-\sin{\phi}R_2\Longrightarrow R_1:\\ &\left(\begin{matrix}\begin{matrix}\cos{\phi}&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}&\left|\begin{matrix}1-\sin^2{\phi}&-\sin{\phi}\cos{\phi}&0\\\sin{\phi}&\cos{\phi}&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right.\\\end{matrix}\right)=\\ &\left(\begin{matrix}\begin{matrix}\cos{\phi}&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}&\left|\begin{matrix}\cos^2{\phi}&-\sin{\phi}\cos{\phi}&0\\\sin{\phi}&\cos{\phi}&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right.\\\end{matrix}\right)\\ &R_1/\cos{\phi}\Longrightarrow R_1:\ \left(\begin{matrix}\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}&\left|\begin{matrix}\cos{\phi}&-\sin{\phi}&0\\\sin{\phi}&\cos{\phi}&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right.\\\end{matrix}\right)\end{align} De donde la inversa buscada es, $$A^{-1}=\left(\begin{matrix}\cos{\phi}&-\sin{\phi}&0\\\sin{\phi}&\cos{\phi}&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)$$ Ejemplo 5. Una inversa \(3 \times3\) numérica. Determinar la inversa de la matriz, $$A=\left(\begin{matrix}1&0&1\\2&0&1\\1&4&1\\\end{matrix}\right)$$ Solución: procediendo como en los ejemplos anteriores, aumentando la matriz en la identidad \(I_3\) \begin{align} &\left(\begin{matrix}\begin{matrix}1&0&1\\2&0&1\\1&4&1\\\end{matrix}&\left|\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right.\\\end{matrix}\right)\\ &R_2-R_1\Longrightarrow R_1:\left(\begin{matrix}\begin{matrix}1&0&1\\2&0&1\\0&4&0\\\end{matrix}&\left|\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\-1&0&1\\\end{matrix}\right.\\\end{matrix}\right)\\ &R_2\rightleftarrows R_3:\left(\begin{matrix}\begin{matrix}1&0&1\\0&4&0\\2&0&1\\\end{matrix}&\left|\begin{matrix}1&0&0\\-1&0&1\\0&1&0\\\end{matrix}\right.\\\end{matrix}\right)\\ &\begin{matrix}\\R_2/4\Longrightarrow R_2 \\R_3-2R_1\Longrightarrow R_3\\\end{matrix}:\left(\begin{matrix}\begin{matrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{matrix}&\left|\begin{matrix}1&0&0\\-1/4&0&1/4\\-2&1&0\\\end{matrix}\right.\\\end{matrix}\right)\\ &\begin{matrix}R_1-R_3\Longrightarrow R_1\\R_2/4\Longrightarrow R_2\\ R_3\Longrightarrow R_3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\end{matrix}:\left(\begin{matrix}\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}&\left|\begin{matrix}-1&1&0\\-1/4&0&1/4\\2&-1&0\\\end{matrix}\right.\\\end{matrix}\right)\end{align} Luego el lado derecho es la matriz inversa buscada.